栄光学園2023年度入試問題　解決までの道②

　　　　　　前回の続きは

　前回の投稿では、2023年度栄光学園中学大問３をご紹介しました。今回は、その続きです。

 

　　　　　　では解説を…

　まあわりとよく見かける問題で、算数が得意な子なら10分もあれば正解にたどり着けるでしょう。

 

（１）2023→2024→1012→506→253→254→127→128→64→32→16→８→４→２→１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって14回

（２）例えば［３］と［５］と［６］について考えてみます。

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　３→４→２→１　より、［３］＝３回

　　　　　　５→６→３→４→２→１　より、［５］＝５回

　　　　　　　　６→３→４→２→１　より、［６］＝４回

 

つまり５のような奇数の操作回数を求める場合、①まず１を加えて６にし、②つぎに６を２で割って３にするところから始まります。しかし［６］のような偶数であれば、２で割る操作を１回するだけで３にすることができます。いずれの場合も３になったあとは、３を１にする操作回数である３回を付け足すだけで良いわけです。したがって［５］＝２回＋３回＝５回、［６］＝１回＋３回＝４回…と求めることができます。

　このようにして、ある数の操作回数は、それまでに求めた数の操作回数を参照することでつぎつぎに求めていくことができます。

　次のように整理すると、同様にして［７］［８］は［４］を参照し、［９］［10］は［５］を参照し、［11］［12］は［６］を参照し…それぞれの操作回数をつぎつぎに求めていけることが解りますね。

　　　 A 　　［A］

　　　２　　１回

　　　３　　２回＋１回＝３回

　　　４　　１回＋１回＝２回

　　　５　　２回＋（２回＋１回）　　　  ＝２回＋３回＝５回

　　　６　　１回＋（２回＋１回）　　　  ＝１回＋３回＝４回

　　　７　　２回＋（１回＋１回）　　　  ＝２回＋２回＝４回

　　　８　　１回＋（１回＋１回）　　　  ＝１回＋２回＝３回

　　　９　　２回＋（２回＋２回＋１回）＝２回＋５回＝７回

　　　10　　１回＋（２回＋２回＋１回）＝１回＋５回＝６回

　　　11　　２回＋（１回＋２回＋１回）＝２回＋４回＝６回

　　　12　　１回＋（１回＋２回＋１回）＝１回＋４回＝５回

　　　13　　２回＋（２回＋１回＋１回）＝２回＋４回＝６回

　　　14　　１回＋（２回＋１回＋１回）＝１回＋４回＝５回

　　　15　　２回＋（１回＋１回＋１回）＝２回＋３回＝５回

　　　16　　１回＋（１回＋１回＋１回）＝１回＋３回＝４回

　　　17　　２回＋（２回＋２回＋２回＋１回）＝２回＋７回＝９回

　　　18　　１回＋（２回＋２回＋２回＋１回）＝１回＋７回＝８回

　　　：

　　　：

　　　：

　　　32　　１回＋（１回＋１回＋１回＋１回）＝１回＋４回＝５回

 

　このように考えると、［16］＝４回を参照することで［32］＝１回＋４回＝５回となる整数32の出現を予測することができ…正解は５、12、14、15、32となります。

 

（３）ここまで解ってしまえば、同様の手順でスピーディに正解を導くことができます。ぜひ、ご自分でお試し下さい。

 

　　　　　しかし本題はここから…

　…さて本題はここからなのです。ここから先は上の内容を十分にご理解なさった上で、お読み下さい。

 

　わたしが１週間ほど考え続けたというのは…。

 

　上のように整理してみると、何かお気づきになりませんか？　そうです。「［A］を求める式は、すべて１回と２回の和で出来ている」んです。これを不審に思ったわたしは①「２回」をすべて「０回」に変換して書き直し、②それらを右から逆順に並べ替えてみました。

 

　例えば…

 

　　　［14］＝１回＋２回＋１回＋１回　

　　この式の「２回」を「０回」に変換すると１回＋０回＋１回＋１回。

　　右側から逆順に並べ替えて「＋」を省くと…１１０１

 

　この１１０１をわたしは２進数ではないかと考えました。そこで１１０１を10進数に換算すると、なんと13！　14より１だけ小さな数だったのです。

　何かの偶然ではないかと疑い、他の数についても試してみました。

　　　Ａ　　      ［A]　　　　　２を０に変換　  逆順に　　10進変換

　　　：

　　　10　　1＋2＋2＋1　　　　１００１　　１００１　　　９

　　　11　　2＋1＋2＋1　　　　０１０１　　１０１０　　　10

　　　12　　1＋1＋2＋1　　　　１１０１　　１０１１　　　11

　　　13　　2＋2＋1＋1　　　　００１１　　１１００　　　12

　　　14　　1＋2＋1＋1　　　　１０１１　　１１０１　　　13

　　　15　　2＋1＋1＋1　　　　０１１１　　１１１０　　　14

　　　16　　1＋1＋1＋1　　　　１１１１　　１１１１　　　15

　　　17　　2＋2＋2＋2＋1　　００００１　１００００　  　16

　　　18　　1＋2＋2＋2＋2　　１０００１　１０００１  　　17

 

もはや疑う余地はありません。

［A］を求める式は…Aから１だけ引いて２進数に直した数と、記号的に一致していたのです！！

つまり…

（１）［2023］を求めなさい。

 

　　　2023－１＝2022

　　　2022は２進数に治すと…１１１１１１００１１０

　　　「０」を「２」変換して…１１１１１１２２１１２

　　　これを逆順に並べ替えて…２１１２２１１１１１１

　　　各桁の数の和を求めると…

　　　［2023］＝２＋1＋１＋２＋２＋１＋１＋１＋１＋１＋１

　　　　　　 　＝14

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって14回

 

　…となるわけです。

　なんと美しい！！！…とわたしは感動しました。

　しかしここから先がわたしの苦闘の始まりでした。

　この美しい仕組みを、論理的に演繹して解明しなければなりません。

　

　　　　　斉藤先生が自分に課した問題は…？

問題

　［A］を求めるには、２進数として表した

A－１の各桁にある「０」を「２」に変換した上で、各桁の数の和を求めればよい。その理由を説明しなさい。

 

　さて、これの解説は、長くなるので、また次回に発表いたします。

　それまで、どうか皆様もご一緒に考えてみて下さい。では。